Cách giải của Việt Nam khác đáp án dưới đây.
Đề bài:
Hình trên mô phỏng tháp Rùa Hà Nội gồm 3 phần. Tầng 1 và 2 mỗi tầng có 10 ô cửa gồm 3 ô cửa mặt trước, 3 ô cửa mặt sau, 2 ô cửa bên trái và 2 ô cửa bên phải, tầng 3 là nóc tháp. Mặt trước tháp là mặt có biểu tượng hình tròn trên nóc tháp. Sử dụng 3 màu sơn xanh, vàng và nâu để trang trí tháp rùa theo các yêu cầu sau đây:
i) Nóc tháp được sơn bằng một màu
ii) Ba ô cửa mặt trước của tầng hai được sơn cùng một màu
iii) Ba ô cửa mặt trước của tầng một được sơn cùng một màu
iv) 14 ô cửa không ở mặt trước của tầng 1 và tầng 2 được sơn bằng 1 trong 3 màu sao cho trong mỗi tầng các ô cửa kề nhau (chung cạnh với nhau) phải sơn khác màu nhau.
1. Hỏi có bao nhiêu cách sơn trang trang trí theo yêu cầu cho tầng 1?
2. Hỏi có bao nhiêu cách sơn trang trang trí khác nhau cho tháp Rùa Hà Nội?
Giải:
1. Xét tầng 1: Giả sử mặt trước có 3 ô cửa sơn màu xanh.
Trải phẳng 7 ô cửa không ở mặt trước thành một dãy các ô được đánh số từ 1 đến 7, trong đó 2 ô cửa ở 2 đầu là 1 và 7 không được sơn màu xanh.
Khi đó xảy ra 4 trường hợp sau đây.
- Trường hợp 1: Trong 7 ô cửa không có ô cửa nào sơn màu xanh.
Khi đó có 2 cách sơn xen kẽ màu vàng và màu nâu như 2 hình dưới đây:
- Trường hợp 2: Trong 7 ô cửa có một ô cửa sơn màu xanh.
Có 5 cách chọn ô cửa để sơn màu xanh.
Với mỗi cách chọn ô cửa sơn màu xanh, đều chia dãy 7 ô thành 2 dãy bên trái và bên phải của ô sơn màu xanh. Mỗi dãy có đúng 2 cách sơn xen kẽ các ô bởi 2 màu nâu và vàng nên có tất cả 22 × 5 =20 cách sơn.
- Trường hợp 3: Trong 7 ô cửa có 2 ô cửa sơn màu xanh.
Có 6 cách chọn 2 ô cửa không kề nhau để sơn màu xanh.
Với mỗi cách chọn 2 ô cửa sơn màu xanh thì 2 ô cửa này chia dãy 7 ô thành 3 dãy nhỏ với mỗi dãy chỉ có 2 cách sơn nên có tất cả 23 × 6 = 48 cách sơn.
- Trường hợp 4: Trong 7 ô cửa có 3 ô cửa sơn màu xanh.
Chỉ có 1 cách chọn 3 ô cửa không kề nhau để sơn màu xanh.
Có 2 cách sơn cho mỗi ô cửa còn lại nên có 24 × 1 = 16 cách sơn.
Như vậy với trường hợp mặt trước tầng 1 sơn màu xanh ta có
2 + 20 + 48 + 16 = 86 cách sơn cho các ô cửa còn lại của tầng 1.
Do mặt trước tầng 1 có 3 cách sơn nên có 3 × 86 = 258 cách sơn tầng 1.
2. Vì tầng 2 thiết kế giống như tầng 1 nên cũng có 3 × 86 = 258 cách sơn.
Số cách sơn của nóc tháp là 3 cách sơn.
Vậy số cách cách sơn trang trí khác nhau cho tháp Rùa Hà Nội là:
3 × 258 × 258 = 199692 (cách)