Đề bài:
Viết các số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 9 theo thứ tự tăng dần ta được dãy số:
9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90; 108; 117; 126…
Hỏi số tự nhiên trong dãy số trên có số thứ tự 2017 là số nào?
Ảnh minh họa: NEA Today
Một bài tập của học sinh lớp 5, thành viên đội tuyển Olympic Toán và Khoa học quốc tế IMSO 2017 (lứa tuổi 11-12) làm rất nhiều bạn đọc mắc sai lầm, và đa phần đều bắt nguồn từ việc quy nạp không hoàn toàn.
Sai lầm thường gặp của bạn đọc
Khi quan sát dãy số trên, bạn đọc phát hiện ra ngay quy luật giá trị của mỗi số đều bằng 9 nhân với số thứ tự của nó, ví dụ 9 x 1 = 9 ; 9 x 2 = 18 ; 9 x 3 = 27;
9 x 4 = 36; 9 x 5 = 45...
Để rồi từ đó suy ra số thứ 2017 là 9 x 2017 = 18153.
Nhiều bạn đọc đã bỏ quên kỹ năng đọc kỹ đề bài, giải xong phải kiểm tra thử lại. Hơn 300 bạn đọc đưa ra đáp số 18153 mà quên không kiểm tra tổng các chữ số của nó là 1 + 8 + 1 + 5 + 3 có bằng 9 hay không.
Nếu bạn đọc kỹ đề bài thì mới có ý thức thử lại và khi thử lại chắc chắn sẽ phát hiện đáp số 18153 có vấn đề mâu thuẫn với yêu cầu bài toán. Khi đó bạn sẽ có ý thức kiểm tra các số có trong đề bài để phát hiện ra chỉ có đúng 10 số đầu tiên tuân theo quy luật là giá trị của mỗi số đều bằng 9 nhân với số thứ tự của nó. Quy luật này bắt đầu sai từ số thứ 11 của dãy, chẳng hạn số thứ 11 là 108 và
9 x 11 = 99; số thứ 12 là 117 và 9 x 12 = 108; số thứ 13 là 126 và 9 x 13 = 117.
Sai lầm phát sinh từ việc phát hiện sai lầm
Một số bạn tránh được sai lầm trên khi kiểm tra phép nhân 9 cho các số hạng thứ 11; 12; 13 thì mắc phải sai lầm phát sinh khi phát hiện quy luật chợt đến trong các phép nhân vừa kiểm tra 108 = 9 x 12 = 9 x (11 + 1);
117 = 9 x 13 = 9 x (12 + 1); 126 = 9 x 14 = 9 x (13 + 1).
Có thể các bạn đã kiên nhẫn thử tiếp các số hạng thứ 14; 15; 16 của dãy để kiểm tra quy luật 135 = 9 x 15 = 9 x (14 + 1); 144 = 9 x 16 = 9 x (15 + 1);
153 = 9 x 17 = 9 x (16 + 1)… Từ đó các bạn thấy quy luật phát sinh chợt đến là từ số thứ 11 trở đi giá trị của mỗi số đều bằng 9 nhân với tổng giữa số thứ tự của nó với 1. Từ quy luật chợt đến này các bạn suy diễn số thứ 2017 của dãy là
9 x (2017 + 1) = 9 x 2018 = 18162
Điều hài hước là các bạn phát hiện 18153 là sai vì 1 + 8 + 1 + 5 + 3 khác 9, nhưng lại quên không kiểm tra để thấy 18162 cũng có tổng các chữ số khác 9.
Quy nạp không hoàn toàn
Phép suy luận từ những quy luật chung của một nhóm để khái quát quy luật chung cho tất cả đối tượng gọi là phép quy nạp không hoàn toàn. Quy nạp không hoàn toàn có thể đúng, có thể sai và trong phạm vi bài viết này ngoài việc phân tích sai lầm của bạn đọc chúng tôi sẽ trích dẫn thêm một số ví dụ sai lầm khi dùng quy nạp không hoàn toàn.
Kết luận
Sai lầm của độc giả khi giải bài toán lớp 5 ở trên đều bắt nguồn từ việc không đọc kỹ đề bài và sau đó không kiểm tra lại kết quả. Nếu dãy có nhỏ hơn 11 số lộ thiên thì sai lầm lấy 9 nhân với số thứ tự chỉ là vội vàng. Nhưng với 13 số lộ thiên 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90; 108; 117; 126… mà các bạn vẫn mắc sai lầm chồng sai lầm thì thật là đáng buồn.
Bài toán lớp 5 này là bài mở, thách thức mọi độc giả đi tìm một lời giải hay nhất phù hợp với học sinh giỏi khối lớp 5-6 dự thi Toán quốc tế.