Lời giải bài toán lớp 6 trong đề thi Đại học Kyoto

Trong chuyên mục "Toán học không khoảng cách". thầy Trần Phương cho biết số nguyên tố là các số nguyên dương lớn hơn 1 mà chỉ có đúng hai ước số là 1 và chính nó (có thể gọi là số không thể phân ly). Các số nguyên tố đầu tiên là: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43... Như thế, mọi số nguyên tố lớn hơn hai đều là các số nguyên dương lẻ.

Do tập hợp số nguyên tố là vô hạn nên sẽ giải bài toán theo trình tự sau :

Thứ nhất, nhận xét chung để thu hẹp phạm vi tìm nghiệm. Nếu p, q là các số nguyên tố cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì (p^q + q^p) là số chẵn lớn hơn 2 nên không là số nguyên tố. Do đó trong hai số p, q có một số bằng 2 và một số lẻ. Không mất tính tổng quát giả sử p = 2 và q nguyên tố lẻ.

Thứ hai, tìm các cặp (p; q) từ nhỏ đến lớn thỏa mãn yêu cầu: xét T = p^q + q^p = 2^q + q² với q nguyên tố lẻ (nếu q= 3 thì T = 2³ + 3² =17 là số nguyên tố (thỏa mãn); nếu q = 5 thì T = 57 là hợp số vì nó chia hết cho 3 (loại); nếu q = 7 thì T = 177 là hợp số vì nó chia hết cho 3 (loại)).

Cuối cùng, chứng minh tổng quát cho các cặp (p, q) không thỏa mãn. Ta sẽ chứng minh T = 2^q + q² là hợp số với mọi q nguyên tố lớn hơn 3. Trong các dạng 6k, 6k + 1, 6k + 2, 6k + 3,6k + 4,6k + 5 thì q nguyên tố chỉ có thể nhận 2 dạng 6k + 1 hoặc 6k + 5. Ta sẽ chứng minh khi đó T chia hết cho 3.

Nếu q = 6k + 1 thì T = 2 × 64^k + (6k + 1)² ≡ 2 × 1^k + 1 (mod 3) ≡ 0 (mod3), nếu q = 6k + 5 thì T = 32 × 64^k + (6k + 5)² ≡ 2 × 1^k + 25 ( mod 3) ≡ 0 (mod3)

Từ các bước giải trên đi đến kết luận: Với (p, q) là (2, 3) hoặc (3, 2) thì T = p^q + q^p = 17 nguyên tố.

Trường Đại học Kyoto Nhật Bản thành lập năm 1869 là ngôi trường đại học lâu đời và danh tiếng thứ hai tại Nhật (sau Đại học Tokyo), xếp hạng thứ 24 trên thế giới. Đề thi toán tuyển sinh vào trường có phạm vi kiến thức rộng. Năm 2018, bài toán về số nguyên tố từng xuất hiện trong đề thi.

(Nguồn: Hệ thống Giáo dục HOCMAI)