"Bài toán cây cầu kính với 7 ô vuông" được thầy Trần Phương sáng tạo trong một lần đi tham quan. Thầy Trần Phương cho biết, nếu có dịp tham quan Mộc Châu, chúng ta sẽ thấy một cây cầu treo, sàn được lót bằng kính. Người đi trên cầu có thể nhìn xuyên qua lớp kính ấy để quan sát được cảnh vật bên dưới.
Ở Trung Quốc hay một số quốc gia khác trên thế giới, có một số cây cầu kính sát mặt nước trên hồ lớn để người đi trên cầu có thể quan sát được các con cá bơi lội.
Bài toán yêu cầu tính chu vi và diện tích của cây cầu kính gồm 7 ô vuông như hình vẽ. Ảnh: HOCMAI.
Trong hình vẽ ở ảnh trên, mặt hồ hình chữ nhật (chiều dài 26m, chiều rộng 17m) có cây cầu kính gồm 7 ô vuông nối tiếp nhau. Các ô vuông này có 4 điểm tiếp xúc với 4 cạnh của hồ. Yêu cầu là làm thế nào để tính được chu vi và diện tích của cây cầu kính?
Lời giải của bài toán được đưa ra như sau:
Chúng ta hãy quan sát 7 ô cầu kính này là 7 ô vuông, có 4 điểm chạm tiếp xúc với 4 cạnh của hình chữ nhật. Để giải bài toán này thì vấn đề then chốt là chúng ta cần phải tính được độ dài của 1 cạnh ô vuông. Nếu tính được độ dài của 1 cạnh ô vuông thì chúng ta sẽ tính được diện tích của 1 ô vuông, và nhân 7 lên sẽ ra được diện tích của toàn bộ cây cầu kính, đếm số cạnh ô vuông lặp lại thì sẽ tính được chu vi.
Vậy làm thế nào để tính được độ dài của cạnh 1 ô vuông?
Quan sát góc dưới bên phải hình vẽ, chúng ta nhìn thấy 1 cạnh của ô vuông có 2 điểm chạm với 1 chiều rộng và 1 chiều dài của mặt hồ.
Do chiều dài và chiều rộng là 2 đại lượng khác nhau nên chúng ta sẽ đặt cạnh ngắn của ô vuông là a, cạnh dài của ô vuông là b. Vì có 2 ẩn nên chúng ta sẽ thiết lập được 2 phương trình.
Kẻ các đường phụ (xây dựng cầu ở trong cầu) để tính được 1 cạnh của hình vuông. Ảnh: HOCMAI.
Từ gợi ý của tam giác vuông này, chúng ta sẽ kẻ các đường phụ (xây dựng các cầu nối trung gian hoặc gọi hình tượng hơn là xây dựng cầu ở trong cầu). Có nghĩa là ta sẽ dựng liên tiếp 10 tam giác vuông, có các cạnh góc vuông song song với chiều dài hoặc chiều rộng của hồ, và cạnh huyền của nó chính là cạnh của 1 ô vuông. Như vậy đếm từ trái sang phải chúng ta sẽ có 10 tam giác vuông liên tiếp nhau.
Tiếp theo, đi theo chiều dài của hồ (từ trái sang phải), chúng ta sẽ đếm được số đoạn a và số đoạn b. Ta thấy đoạn ngắn lặp lại 2 lần, tức 2a; đoạn dài lặp lại 5 lần tức 5b, chiều dài cho trước là 26m. Vậy ta có phương trình thứ nhất là 2a + 5b = 26.
Đi theo chiều rộng của hồ, đếm từ trên xuống dưới, ta thấy đoạn ngắn lặp lại 3 lần, đoạn dài lặp lại 2 lần, chiều rộng của hồ là 17.Ta có phương trình thứ hai là 3a + 2b = 17.
Như vậy, ta có hệ phương trình 2a + 5b = 26 và 3a + 2b = 17. Giải hệ phương trình bằng phương pháp khử ẩn, ta sẽ tìm được a = 3, b = 4.
Từ đó, ta suy ra được cạnh nhỏ của tam giác vuông là 3, cạnh dài của tam giác vuông là 4. Gọi c là cạnh huyền của tam giác vuông, cũng chính là cạnh của 1 ô vuông cầu kính, ta sẽ tìm được c = 5 (dựa theo định lý Py-ta-go). Dễ dàng tính được diện tích của 1 ô vuông là 5 x 5 = 25, và diện tích của 7 ô vuông cầu kính là 25 x 7 = 175 (m2).
Chúng ta đếm được 16 cạnh bị lặp lại, vậy chu vi của cây cầu kính là 16 x 5 = 80 (m).
Dựa vào định lý Pythagoras, ta tìm được cạnh huyền, tức cạnh của 1 ô vuông. Sau đó, ta dễ dàng tính được chu vi và diện tích của cây cầu kính.
Như vậy, để tính được chu vi và diện tích của một cây cầu kính gồm các ô vuông có các cạnh ở dạng xiên như trên, chúng ta sẽ chú ý tới 2 ẩn số mà đề bài cho trước là chiều dài và chiều rộng của mặt hồ. Muốn tính được cạnh của 1 ô vuông thì chúng ta cần tính gián tiếp, tức là phải tính được 2 cạnh góc vuông, dẫn đến phải kẻ đường phụ (xây dựng cầu ở trong cầu).
Xem chi tiết bài giảng "Bài toán cầu kính 7 ô vuông" trong chuyên mục Toán học không biên giới tại đây.
(Nguồn: HOCMAI)