Bài toán này sử dụng quy tắc nhân là nguyên lý đếm cơ bản trước khi đi vào các khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp. Nhiều bạn đưa ra đáp số sai là do không xác định đúng vị trí điền số hoặc không trừ các trạng thái lặp lại. Chỉ một bạn đưa ra lời giải đúng với đáp án của Ban tổ chức kỳ thi Kangaroo 2015. Tuy nhiên nếu đọc kỹ đề bài thì ta có thể đưa ra một đáp án khác.
Đề bài:
Trong sổ liên lạc của tôi có ghi số điện thoại Ekin là một số có sáu chữ số. Nhưng đáng lẽ nó phải là số có bảy chữ số như tất cả số điện thoại khác ở vùng cậu ấy.
Tôi không biết đã quên viết chữ số nào và ở đâu. Hỏi tôi phải gọi thử bao nhiêu số điện thoại để chắc chắn tìm được số điện thoại của Ekin? (Số điện thoại ở vùng của Ekin có thể bắt đầu bằng bất kỳ chữ số nào, bao gồm số 0).
Đáp án:
Khi đã viết số điện thoại có 6 chữ số và quên mất 1 chữ số thì chữ số bị quên có 7 cách chọn vị trí, trong đó có một vị trí ngoài cùng bên trái; 5 vị trí kẹp giữa 2 trong 6 chữ số và 1 vị trí ngoài cùng bên phải. Mỗi vị trí đều có 10 cách điền các chữ số 0; 1; 2….; 8; 9 nên sẽ có 7´10=70 số có 7 chữ số.
Tuy nhiên, khi điền chữ số còn thiếu (x) vào bên trái hay bên phải của mỗi chữ số đã ghi (m) trong sổ liên lạc, luôn có hai trạng thái điền số như nhau nếu x=m. Do có 6 chữ số đã ghi nên trong 70 số tạo ra sẽ có 6 số bị trùng lặp và như thế chỉ tạo ra 70 - 6 = 64 số điện thoại có 7 chữ số. Đến đây ta có đáp án thông thường giống như một bạn đọc và Ban tổ chức kỳ thi Kangaroo là 64.
Bình luận:
Nội dung câu hỏi của đề bài là: “Hỏi tôi phải gọi thử bao nhiêu số điện thoại để chắc chắn tìm được số điện thoại của Ekin?” và trong đề thi gốc Ban tổ chức đã đưa ra 5 phương án lựa chọn:
(A)55; (B)60; (C)64 ; (D)70 ; (E)80. Với câu hỏi và cách thức trả lời là lựa chọn phương án thì đáp án đúng (C) 64 là chấp nhận được. Tuy nhiên, mục đích của câu hỏi là xác định chắc chắn số điện thoại đúng của Ekin chứ không phải là để nói chuyện đúng với Ekin thì chỉ cần tối đa 63 lần thử gọi điện thoại. Nếu sau 63 lần gọi thử điện thoại theo 63 số có 7 chữ số được xác lập mà không đúng thì số còn lại chính là số điện thoại của Ekin. Vậy đáp án đúng nhất là 63.