Topic 41. NATURAL NUMBER GRID
Problem: Arrange consecutive odd natural numbers beginning from 1 into a grid in the following pattern:
Each number is denoted by an identification pair of numbers which are its row and its column. For instance, number 9 on row 2, column 4 will be denoted as (2; 4). Let (a; b) be the identification numbers of 2019. Find a + b.
Dịch đề: Sắp xếp các số tự nhiên lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1 vào bảng theo quy luật sau:
Mỗi số trong bảng được đánh dấu bởi một cặp số xác định là hàng và cột của nó. Ví dụ, số 9 nằm trên hàng 2, cột 4 sẽ có cặp số xác định là (2; 4). Gọi (a; b) là cặp số xác định của số 2019. Tính a + b.
Lời giải:
Số 2019 có số thứ tự là (2019 – 1) : 2 +1 = 1010 (chia cho 4 dư 2).
Mỗi hàng có 4 số nên 2019 nằm ở hàng a = [1010:4] + 1 = 253 (hàng lẻ).
Để ý rằng từ trái sang phải, 4 số ở cùng một hàng có số thứ tự lẻ là dãy số tăng.
Do đó từ trái sang phải các số ở hàng thứ 253 là 2017; 2019; 2021; 2023.
Trong bảng số, các số ở hàng có số thứ tự lẻ đều xếp lệch bên phải 1 cột so với các số ở hàng có số thứ tự chẵn. Do a = 253 lẻ nên 2019 ở vị trí thứ 2 trong dãy số cùng một hàng là: 2017; 2019; 2021; 2023 sẽ nằm ở cột thứ 3 trong bảng số tức là b = 3.
Vậy a + b = 256.
Solution:
Number 2019 will be the (2019 – 1) : 2 +1 = 1010. When divided by 4, 1010 leaves a remainder of 2.
There are 4 numbers on each row, so 2019 will be on row a = [1010:4] + 1 = 253. This is an odd-numbered row.
Note that all odd-numbered rows are in ascending order from left to right. Thus, the 4 numbers on row 253 from left to right are 2017; 2019; 2021; 2023.
Also, odd-numbered rows are 1 column indented from the left compared to even-numbered rows. Number 2019, which is the second number on row 253, will be on column 3, i.e. b = 3.
In conclusion, a + b = 256.