Đề bài:
Trong một nhóm người nọ có hai loại người, những người luôn nói dối và những người luôn nói thật.
Mỗi người đều biết ai là người nói dối, ai là người nói thật. Hôm nay, trong một buổi họp, mỗi thành viên của nhóm và mỗi người đều nói về tính nói thật, nói dối của mỗi người khác (ví dụ nếu có 4 người A, B, C, D thì A sẽ nói về B, C, D; B nói về A, C, D…). Câu trả lời “anh ta là người nói dối” được dùng đến 240 lần.
Ngày hôm qua cũng có một cuộc họp như vậy, nhưng có một thành viên vắng mặt, kết quả là có 216 lần câu “nói dối” được dùng đến. Hỏi làng đó có bao nhiêu thành viên?
Giải:
Giả sử có x người nói thật, y người nói dối thì mỗi người nói thật sẽ nói câu “anh ta là người nói dối” y lần, mỗi người nói dối sẽ nói “anh ta là người nói dối” x lần.
Suy ra tổng số các câu “anh ta là người nói dối” là: xy + yx = 2xy
Theo đề bài ta có 2xy = 240
Suy ra xy = 120.
Nếu vắng đi 1 người thì người đó có thể là người nói thật hoặc người nói dối. Do vai trò hoàn toàn đối xứng, ta có thể giả sử đó là người nói thật.
Khi đó, tương tự như trên ta sẽ có 2(x-1)y = 216
suy ra (x-1)y = 108
Từ đây suy ra y = 12 và x = 10
Vậy nhóm có 12 + 10 = 22 thành viên.
Trần Nam Dũng
ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐH Quốc gia TP HCM