Đề bài:
Tám vận động viên bơi lội cùng thi đấu trong một bể bơi có 8 làn bơi được đánh số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Chúng ta biết các thông tin sau đây về kết quả cuộc thi:
i) Không có ai về đích ở vị trí có số thứ tự giống với số làn bơi của mình và cũng không có hai người nào về đích cùng một lúc.
ii) Các vận động viên ở làn chẵn về đích ở vị trí chẵn, các vận động viên ở làn lẻ về đích ở vị trí lẻ.
Hỏi có bao nhiêu khả năng về đích khác nhau của tám vận động viên.
Đáp án:
Xét bốn vận động viên lúc đầu ở các vị trí lẻ 1, 3, 5, 7 về đích có số thứ tự là hoán vị của bộ số (1, 3, 5, 7) với các số chỉ vị trí xuất phát lúc đầu và số thứ tự về đích khác nhau. Khi đó có 3 cách chọn vị trí số 1 lúc sau khác với vị trí số 1 lúc đầu.
Với mỗi cách chọn vị trí số 1 lúc sau luôn có 3 cách chọn ba số 3, 5, 7 lúc sau khác với vị trí lúc đầu của nó, chẳng hạn nếu vị trí số 1 lúc sau ở vị trí thứ hai thì ta có ba bộ số là (3, 1, 7, 5); (5, 1, 7, 3); (7, 1, 3, 5). Như thế số các khả năng để bốn vận động viên lúc đầu ở các vị trí lẻ 1, 3, 5, 7 về đích có số thứ tự là hoán vị của bộ số (1, 3, 5, 7) với các số chỉ vị trí xuất phát lúc đầu và số thứ tự về đích khác nhau là 3 x 3 = 9 (cách).
Tương tự ta có số các khả năng để bốn vận động viên lúc đầu ở các vị trí chẵn 2, 4, 6, 8 về đích có số thứ tự là hoán vị của bộ số (2, 4, 6, 8) với các số chỉ vị trí xuất phát lúc đầu và số thứ tự về đích khác nhau là 3 x 3 = 9 (cách).
Vậy số cách về đích của tám vận động viên là: 9 x 9 = 81 (cách).
Trần Phương