Đề bài:
Một két sắt có mật mã gồm 7 chữ số được ẩn giấu trong các đại lượng của "Tam giác vàng ABC". Biết độ dài 3 cạnh của "Tam giác vàng ABC" là 3 số nguyên dương và đường tròn đi qua 3 đỉnh A, B, C có bán kính là 3,125.
1. Xác định độ dài 3 cạnh, chu vi và diện tích của "Tam giác vàng ABC".
2. Giả sử mật mã két sắt gồm 7 ô chứa dữ liệu của "Tam giác vàng ABC", mỗi ô chứa đúng 1 chữ số trong đó 3 ô liên tiếp chứa 3 chữ số biểu thị độ dài 3 cạnh, 2 ô liên tiếp chứa 2 chữ số biểu thị chu vi và 2 ô liên tiếp chứa 2 chữ số biểu thị diện tích (các số biểu thị đều đọc từ trái sang phải). Nếu biết kết quả đúng của câu 1 và cứ sau 1 phút nhập được đúng một mật mã hợp lệ gồm 7 chữ số thì sau tối đa bao nhiêu phút két sẽ được mở?
Hướng dẫn giải:
1. Giả sử tam giác ABC có diện tích S, độ dài 3 cạnh là a, b, c còn p là nửa chu vi và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ta có S = (abc)/4R = (abc)/12,5 hay 25S = 2abc,
tương đương 25(4S) = 8abc (1). Sử dụng công thức Hê-rông tính diện tích tam giác ta có:
(4S)2 = 16S2 = 16p(p–a)(p–b)(p–c) = (b+c+a)(b+c–a)(c+a–b)(a+b–c).
Suy ra 4S là số nguyên dương (2). Từ (1) và (2) suy ra 8abc hay (abc) chia hết cho 25.
Mặt khác trong đường tròn đường kính là dây lớn nhất hay Max{a,b,c}≤ 2R= 6,25 nên khi kết hợp với a, b, c nguyên dương và (abc) chia hết cho 25 sẽ dẫn đến trong a, b, c luôn có 2 số bằng 5. Không mất tính tổng quát giả sử a = b = 5 khi đó (1) trở thành 25S = 50c hay S = 2c.
Khi đó: 16S2 = (b+c+a)(b+c–a)(c+a–b)(a+b–c) = (10+c)(10– c)c2
dẫn đến 64c2= (100 – c2 )c2 hay 64 =100 – c2 tức là c = 6.
Vậy tam giác ABC có độ dài ba cạnh (a,b,c) là một hoán vị của (5,5,6), có chu vi là 16 và có diện tích là S = 2c = 12.
2. Với quy tắc đọc các chữ số biểu thị theo chiều từ trái sang phải, trong đó chú ý tính thứ tự khi đọc số có 2 chữ số chu vi là 16 và diện tích là 12, từ 7 ô trống của mật mã ta có 3 cách chọn vị trí cho bộ 3 số (5, 5, 6) là độ dài của 3 cạnh, mỗi vị trí có 3 cách hoán vị là (5, 5, 6); (5, 6, 5); (6, 5, 5) và sau đó có 2 cách chọn vị trí các số biểu thị chu vi 12 và diện tích 16.
Do đó, số cách chọn của dãy 7 chữ số biểu thị mật mã từ "Tam giác vàng ABC" là 3x3x2 = 18 (cách). Mỗi một lần giải mã mất 1 phút nên sau tối đa 18 phút thì ổ khóa được mở.
Trần Phương