Khoác vỏ bề ngoài là bài toán kinh tế mua bán, nhưng bản chất của bài toán là tìm bội chung nhỏ nhất của các số. Ý tưởng bội chung nhỏ nhất trong bài toán này rất sáng tạo, dường như chưa xuất hiện ở bất kỳ cuộc thi toán quốc tế nào. Rất vui khi độc giả với nick Le Van Tam đã tìm được lời giải đúng.
Ảnh: Hemmings Motor News |
Topic 13: Trading
Problem:
Peter, Anna and Andria bought three identical cars at the same price. Peter initially paid €1300, Anna €1000 and Andria €600. Every month after that, Peter paid €180, Anna €240 and Andria €280 until the price of each car have been exactly paid by the respective person. What is the lowest possible price, in Euros, of the car?
Dịch đề:
Peter, Anna và Andria đã mua ba chiếc xe giống hệt nhau với cùng mức giá. Phí đặt cọc của Peter là €1300, của Anna là €1000 và của Andria là €600. Mỗi tháng sau đó, Peter trả €180, Anna trả €240 và Andria trả €280 cho đến khi họ trả hết chính xác số tiền cho xe của mình. Hỏi giá thấp nhất có thể, bằng Euro, của chiếc xe ôtô là bao nhiêu?
Lời giải
Không mất tính tổng quát chia tất cả các dữ kiện trong đề bài cho 20 thì số tiền đặt cọc và số tiền trả mỗi tháng của mỗi người là các bộ số sau đây: Peter (65; 9); Anna (50; 12) và Andria (30; 14).
Lấy số tiền đặt cọc chia cho số tiền trả mỗi tháng, ta có các phép chia (65 ÷ 9); (50 ÷ 12);
(30 ÷ 14) đều có cùng số dư 2 nên giá thấp nhất của chiếc xe ôtô (khi đã chia cho 20) là số nhỏ nhất chia cho 9, 12, 14 đều có cùng số dư 2.
Do BCNN (9, 12, 14) = 252 nên số nhỏ nhất chia cho 9, 12, 14 đều dư 2 là 252 + 2 = 254.
Từ đó suy ra giá thấp nhất của chiếc xe ôtô là 254 × 20 = €5080.
Solution
Without loss of generality, divide all the given data by 20. Then the initial payment and monthly payment of each person will be as follows: Peter (65; 9); Anna (50;12), and Andria (30; 14). Within each pair of numbers, divide the amount of initial payment by the amount of monthly payment. Note that the three divisions (65 ÷ 9); (50 ÷ 12); (30 ÷ 14) all leave a remainder of 2. Therefore, the minimum price of the car (after having been divided by 20) is the smallest number that leaves a remainder of 2 when divided by 9, 12, and 14.
Since LCM (9, 12, 14) = 252, the smallest such number is 252 + 2 = 254.
It follows that the minimum price of the car is 254 × 20 = €5080.
Vocabulary
Initial payment: tiền đặt cọc | As follows: như sau |
Monthly payment: tiền trả hàng tháng | Division: phép chia |
Respective: tương ứng | Remainder: số dư |
Without loss of generality (WLOG): không mất tính tổng quát | Least Common Multiple (LCM): Bội chung nhỏ nhất (BCNN) |
Divide by: chia cho; Be divided by: được chia cho | Greatest Common Divisor (GCD): Ước chung lớn nhất (ƯCLN) |