Đề bài:
Một giải cờ vua thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt: Mỗi kỳ thủ đều thi đấu một ván với các kỳ thủ còn lại.
Tổng kết giải người ta thấy: Trừ 3 vị trí cuối cùng, các kỳ thủ còn lại đều giành được nửa số điểm của mình từ các trận đấu với các kỳ thủ xếp ở 3 vị trí cuối.
Biết mỗi trận thắng được 1 điểm, mỗi trận hòa được 1/2 điểm và mỗi trận thua được 0 điểm. Hỏi có bao nhiêu kỳ thủ đã tham dự giải đấu.
Hướng dẫn giải:
Bài toán này dường như quá sức với bạn đọc nên rất ít bình luận và không bạn nào đưa ra lời giải đúng. Xin gửi đến bạn đọc lời giải của thầy giáo Nguyễn Đức Tấn đến từ TPHCM và cũng là đáp án.
Gọi số kỳ thủ tham dự giải đấu cờ vua là n với n nguyên dương lớn hơn 3 thì tổng số ván đấu trong giải là n(n – 1) / 2.
Do mỗi ván cờ vua luôn mang lại tổng số điểm cho 2 kỳ thủ 1 điểm nên khi kết thúc giải thì tổng số điểm của các kỳ thủ cũng là n(n – 1) /2 (1)
Mặt khác từ giả thiết suy ra có thể tính tổng số điểm theo cách thứ hai:
- Ba ván chơi của 3 kỳ thủ cuối cùng với nhau có tổng điểm 3 ván là 3.
- Trong (n - 3) kỳ thủ xếp trên 3 kỳ thủ cuối khi thi đấu vòng tròn 1 lượt với nhau có tổng số điểm là (n – 3)(n – 4) / 2
- Do (n - 3) kỳ thủ còn lại đều giành được nửa số điểm của mình từ các trận đấu với 3 kỳ thủ xếp ở vị trí cuối nên tổng số điểm của (n – 3) kỳ thủ còn lại với 3 kỳ thủ ở vị trí cuối cũng là (n – 3)(n – 4) / 2
Như thế theo cách tính thứ hai thì tổng số điểm của tất cả kỳ thủ là
3 + (n – 3)(n – 4) (2)
Từ (1) và (2) ta có phương trình 3 + (n – 3)(n – 4) = n(n – 1) / 2.
Biến đổi phương trình ta nhận được (n – 3)(n – 10) = 0
Do n nguyên dương lớn hơn 3 nên n = 10
Đáp án: 10 kỳ thủ
Nguyễn Đức Tấn