Đáp án bài toán 'đoán tuổi bác sĩ'

Có nhiều bạn tìm ra đáp số đúng, nhưng chưa bạn nào có lời giải thích rõ ràng, thỏa đáng. Cùng phân tích để tìm ra lời giải xác đáng cho bài toán.

Đề bài:

Một buổi sáng, bác sĩ Khánh nói với y tá Hằng: “Hôm nay tôi khám bệnh cho 3 người. Tích số tuổi của họ là 2450 và tổng số tuổi của họ gấp 2 lần tuổi của cô. Hãy tính tuổi của mỗi người”.

Vào buổi trưa, y tá Hằng thừa nhận không thể trả lời được câu hỏi này. Khi đó bác sĩ Khánh cho thêm dữ kiện: “Một trong 3 người đó lớn hơn tuổi của tôi”. Ngay sau đó nữ y tá đã trả lời được câu hỏi của bác sĩ. Hỏi bác sĩ bao nhiêu tuổi.

Bình luận và lời giải:

Thoạt tiên khi đọc đề bài sẽ làm chúng ta liên tưởng bài toán: “Đầu cừu đuôi thuyền trưởng” với nội dung "Trên tàu có 45 con cừu, 5 con bị rơi xuống nước. Hỏi ông thuyền trưởng bao nhiêu tuổi?".

Còn ở bài toán này có 2 câu hỏi. Câu hỏi của bác sĩ Khánh dành cho y tá Hằng: “… Hãy tính tuổi của mỗi người” và câu hỏi của bài toán: “Hỏi bác sĩ bao nhiêu tuổi?”. Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích và giải bài toán.

Gọi số tuổi của 3 bệnh nhân là a, b, c thì abc = 2450, do đó để xác định a, b, c thì ta cần phân tích tiêu chuẩn 2450 thành tích các số nguyên tố: 2450 = 2 x 5 x 5 x 7 x 7.

Với giả định thực tế không có ai sống đến 175 tuổi thì có thể tổ hợp 2450 = abc trong đó Max (a, b, c) < 175 theo 12 khả năng sau đây:

2450 = 98 x 25 x 1 = 98 x 5 x 5 = 70 x 35 x 1 = 70 x 7 x 5

= 50 x 49 x 1 = 50 x 7 x 7 = 49 x 25 x 2 = 49 x 10 x 5

= 35 x 35 x 2 = 35 x 14 x 5 = 35 x 10 x 7 = 25 x 14 x 7

Khi đó, tổng a + b + c tương ứng là: 124; 108; 106; 82; 100; 64; 76; 64; 72; 54; 52; 46.

Trong 12 kết quả xuất hiện có 2 kết quả lặp lại với giá trị là 64. Khi y tá Hằng biết tích abc = 2450 và biết kết quả tổng a + b + c (vì nó gấp 2 lần tuổi của cô) mà vẫn không tìm được a, b, c thì chứng tỏ tổng a + b + c = 64 với a, b, c là các hoán vị của (50; 7; 7) hoặc (49; 10; 5) (các kết quả tổng khác 64 đều xác định 1 bộ số duy nhất a, b, c không tính đến các hoán vị).

Khi bác sĩ Khánh cho thêm dữ kiện: “Một trong 3 người đó lớn hơn tuổi của tôi” và y tá Hằng tìm được tuổi của 3 người thì y tá Hằng phải biết chắc chắn tuổi của bác sĩ Khánh. Ta có 64 = 50 + 7 + 7 = 49 + 10 + 5. Nếu tuổi bác sĩ nhỏ hơn 49 thì cả 2 bộ số (50; 7; 7); (49; 10; 5) đều thỏa mãn yêu cầu bài toán và y tá Hằng không thể xác định được tuổi a, b, c của 3 người.

Nhưng do y tá Hằng xác định được tuổi của 3 người khi có thêm dữ kiện “Một trong 3 người đó lớn hơn tuổi của tôi”, thì tuổi của bác sĩ phải là 49 và tuổi của 3 người là 50; 7; 7.

Đáp án: 49

Trần Phương