Topic 33. FINDING AREAS USING AUXILIARY LINES
Problem: ABCD is the rectangle where AB = 12 cm and BC = 5 cm. E is a point on the opposite side of AB to C, as shown in the diagram below. If AE = BE and the area of triangle AEB is 36 cm2, find the area, in cm2, of triangle AEC.
Dịch đề: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12 cm và BC = 5 cm. E là một điểm nằm khác phía với C trên nửa mặt phẳng bờ AB, như hình dưới đây. Biết AE = BE và diện tích tam giác AEB là 36 cm2, tính diện tích tam giác AEC theo cm2.
Lời giải:
Kéo dài CB và AE cắt nhau tại F. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của E lên AB và CF. Do AE = BE nên tam giác AEB cân tại E, kết hợp với EH vuông góc AB suy ra HA = HB = 6 cm.
Mặt khác S(AEB)= (1/2) × AB × EH = 36 (cm2) và AB = 12 cm nên EH = 6 cm.
Do HA = HB = HE = 6 cm nên tam giác AEB vuông cân tại E.
Từ việc tính các góc suy ra tam giác BEF vuông cân tại E và bằng tam giác AEB. Suy ra EK = EH = 6 cm; BF = AB = 12 cm và EF = EA.
Từ đó suy ra: S(AEC) = S(CEA) = S(CEF) = S(ECF)
= (1/2) × EK × CF = (1/2) × 6 × 17 = 51 (cm2)
Solution:
Extend CB and AE to intersect each other at F. Let H and K be the projections of point E on AB and CF respectively.
Since AE = BE, triangle AEB is isosceles at vertex E. Plus EH being perpendicular to AB, we have HA = HB = 6 cm.
In addition, as S(AEB) = (1/2) × AB × EH = 36 (cm2) and AB = 12 cm, EH should be 6 cm.
Therefore, HA = HB = HE = 6 cm, and ∆AEB is right-isosceles at vertex E.
By finding the angle measures of triangle BEF, we also find that it is a right-isosceles triangle at vertex E and ∆BEF = ∆AEB.
It follows that: EK = EH = 6 cm; BF = AB = 12 cm and EF = EA.
Thus: S(AEC) = S(CEA) = S(CEF) = S(ECF)
= (1/2) × EK × CF = (1/2) × 6 × 17 = 51 (cm2)