Problem: With each vertex of a 1 cm by 1 cm square as centre, circles of radius 1 cm are drawn, as shown in the diagram below. How much larger, in cm2, is the area of the shaded region than the area of a circle of radius 1 cm? (Take π = 3.14)
Dịch đề: Vẽ các hình tròn bán kính 1 cm với tâm là các đỉnh của một hình vuông kích thước 1 cm × 1 cm, như hình dưới đây. Tính hiệu, theo cm2, của diện tích phần tô đậm và diện tích hình tròn bán kính 1 cm. (Lấy π = 3.14)
Hướng dẫn giải:
Dựng hình vuông ngoại tiếp ABCD có 4 cạnh tiếp xúc với 4 hình tròn bán kính 1cm và từ 4 tâm của 4 hình tròn nối với các tiếp điểm như hình vẽ. Khi đó diện tích 4 tam giác cong tô đậm nằm trong hình vuông trung tâm cạnh 1cm có thể chuyển dịch thành 4 tam giác cong tô đậm tạo bởi phần giữa của 4 cạnh hình vuông ABCD với các cặp cung giao cắt của 4 đường tròn.
Nhìn vào hình vẽ suy ra hiệu diện tích phần tô đậm với diện tích hình tròn bán kính 1cm chính bằng hiệu diện tích của hình vuông ABCD cạnh 3cm với 5 hình vuông cạnh 1cm (gồm 4 hình vuông ở 4 góc và 1 hình ở trung tâm) và bằng 4 cm2.
Solution:
Construct square ABCD whose sides are the tangents of the 4 given circles of radii 1 cm. Connect the 4 centers of these circles with the points of tangency.
The area of the 4 shaded arcs in the central 1×1 square is equal to that of the 4 outer arcs made by the middle part of the 4 sides of ABCD and the intersecting parts of the 4 circles.
From the figure, it follows that the difference between the area of the shaded region and the area of a circle of radius 1 cm equals to the difference between the area of square ABCD with side length 3 cm and the area of the 5 squares with side length 1 cm (4 at the corners and 1 in the center), and equals to 4 cm2.
