Đề bài. Bên trong nửa hình tròn đường kính AB = 20 cm, vẽ hai hình vuông CHKD và NKFE sao cho C và E nằm trên nửa đường tròn và CH, KD, KN, EF cùng vuông góc với AB. Tính tổng diện tích hai hình vuông CHKD và NKFE.
Đáp án: Không mất tính tổng quát giả sử rằng: NE=EF= a ≥ b=CH=HK
Đặt X=OK thì OF= a−X. Nối OC, OE ta sẽ chứng minh OH = a và OF = b
Theo Pitago: EF2+FO2= OE2=OC2=CH2+ HO2 hay a2+(a−x)2= b2+(b+x)2
Suy ra: a2− b2 + (a−x)2− (b+x)2 = 0 hay 2(a+b)(a−b−x)=0 hay x = a−b.
Từ đó OH=a ; OF=b và S(CHKD)+S(NKFE) = b2+ a2 = OC2=OE2= 100 cm2
Nhận xét: Có thể phát biểu tổng quát tính bất biến thành định lý sau:
Định lý TASIC: Với bất kỳ cặp 2 hình vuông CHKD; NKFE ghép nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AB=2R (như hình vẽ) ta luôn có:
1. Hai bán kính đi qua 2 đỉnh C, E trên đường tròn vuông góc nhau.
2. Tổng diện tích của 2 hình vuông CHKD và NKFE luôn bằng R2.
Trần Phương