Topic 36: OPTIMAL RELOCATION
Problem: ABCDE is a regular pentagon of side length 1 m. There are 5, 15, 14, 9 and 17 students at the vertices A, B, C, D and E respectively. The teacher wants the same number of students at each vertex, so some of the students have to walk to other vertices. They may only walk along the sides. What is the minimum total length, in m, the students have to walk?
Dịch: Cho ABCDE là ngũ giác đều cạnh 1 m. Có lần lượt 5, 15, 14, 9, 17 em học sinh đứng tại các đỉnh A, B, C, D, E tương ứng. Cô giáo muốn số học sinh đứng tại mỗi đỉnh là như nhau nên một số em phải di chuyển đến các đỉnh khác. Các em chỉ được đi dọc theo các cạnh. Hỏi tổng quãng đường các học sinh phải đi có thể ngắn nhất là bao nhiêu, theo m?
 |
Lời giải:
Tổng số học sinh là: 5 + 15 + 14 + 9 + 17 = 60 (học sinh). Sau khi chuyển đổi theo yêu cầu, thì tại mỗi đỉnh đều có số học sinh là: 60 : 5 = 12 (học sinh).
Để tổng quãng đường học sinh di chuyển là ngắn nhất, chúng ta sẽ xét phương án dịch chuyển các học sinh giữa các đỉnh kề nhau để cuối cùng mỗi đỉnh đều có 12 em. Từ đó, ta chỉ ra một cách dịch chuyển tối ưu theo sơ đồ sau:
(B: 15) chuyển 3 sang (A: 5), khi đó (B: 12) và (A: 8).
(E: 17) chuyển 4 sang (A: 8), khi đó (E: 13) và (A: 12).
(E: 13) chuyển 1 sang (D: 9), khi đó (E: 12) và (D: 10).
(C: 14) chuyển 2 sang (D: 10), khi đó (C: 12) và (D: 12).
Như vậy, số lần dịch chuyển ít nhất là: 3 + 4 + 1 + 2 = 10 (lần).
Vậy tổng quãng đường ngắn nhất mà các học sinh phải di chuyển là 10 m.
Solution:
The total number of students is: 5 + 15 + 14 + 9 + 17 = 60 (students).
After moving as required, the number of students at each vertex of the pentagon is: 60 : 5 = 12 (students).
For the total length the students have to walk to be minimum, they have to walk between adjacent vertices only. One way to relocate the students optimally is:
3 students move from (B: 15) to (A: 5), resulting in (B: 12) and (A: 8).
4 students move from (E: 17) to (A: 8), resulting in (E: 13) and (A: 12).
1 student moves from (E: 13) to (D: 9), resulting in (E: 12) and (D: 10).
2 students move from (C: 14) to (D: 10), resulting in (C: 12) and (D: 12).
The minimum number of movements is: 3 + 4 + 1 + 2 = 10 (movements).
Thus, the minimum total length the students have to walk is 10 m.