Đề bài:
Hình dưới đây biểu diễn phần trên cùng bên trái của bảng lưới 2023 x 2023, trong đó có một số ô vuông 1x1 được tô màu xám theo một quy luật để tạo thành một "dây ô vuông màu xám". Dây này bắt đầu từ ô vuông ở góc trên bên trái và tiếp tục kéo "quanh co gấp khúc" cho đến khi không thể kéo dài được nữa.
Bạn hãy xác định quy luật để xem trong bảng lưới 2023 x 2023 có bao nhiêu ô vuông màu xám 1x1 thuộc "dây ô vuông màu xám"?
![Đáp án bài toán đếm dây ô vuông của học sinh lớp 6](https://vcdn1-vnexpress.vnecdn.net/2022/11/12/BT-5284-1667960077-jpeg-9655-1668248455.jpg?w=0&h=0&q=100&dpr=1&fit=crop&s=UkS_eymJ0TE9EgAdqiIquw)
Hướng dẫn cách giải:
Lấy đỉnh trên cùng bên trái của bảng lưới 2023 x 2023 làm mốc cố định. Xét các bảng lưới hình vuông cùng bắt đầu từ mốc đã chọn và có độ dài các cạnh tăng dần 1, 2, 3, ... , 2022, 2023. Để ý rằng trong các hình này, các bảng lưới có cạnh chẵn luôn chứa số ô vuông màu xám 1x1 bằng số ô vuông màu trắng 1x1.
Từ đó suy ra số ô vuông màu xám 1x1 trong bảng 2022 x 2022 là: 1011 x 2022 = 2 044 242 (1)
Mặt khác số ô vuông màu xám 1x1 trong bảng lưới cạnh (2n + 1) nhiều hơn số ô vuông màu xám 1x1 trong bảng lưới cạnh (2n) là (1 + 4n).
Như vậy chênh lệch số ô vuông xám 1x1 trong bảng lưới 2023 x 2023 với số ô vuông xám 1x1 ở bảng lưới 2022 x 2022 là: 1+ 4 x 1011 = 4045 (2)
Từ (1) và (2) suy ra số ô vuông màu xám 1x1 trong bảng 2023 x 2023 là:
2 044 242 + 4045 = 2 048 287
Bình luận: Có thể xác định tổng quát số ô vuông màu xám 1x1 thuộc "dây ô vuông màu xám" trong bảng vuông cạnh (2n + 1) là 2n2 + 4n +1.
Trần Phương