Đề bài:
Tại một giải VnExpress Marathon, 6.888 vận động viên thực hiện một trò chơi đếm số tuần hoàn. Ở lần thứ nhất, 6.888 vận động viên đã đếm số bắt đầu từ trái sang phải và từ trên xuống dưới theo quy tắc: 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3,...
Giữ nguyên đội hình như trước, ở lần thứ hai các vận động viên vẫn đếm số bắt đầu từ trái sang phải và từ trên xuống dưới nhưng theo quy tắc: 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5,...
Hỏi có tất cả bao nhiêu vận động viên có tổng số ở hai lần đếm là 5?
Đáp án:
Ta xét 2 cách đếm số của 15 vận động viên đầu tiên
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ...
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 ...
Do bội số chung nhỏ nhất của (3;5) là 15, nên cứ sau chu kỳ đếm của 15 vận động viên thì các số xuất hiện trong cả hai lần đếm có cấu trúc tuần hoàn lặp lại. Trong chu kỳ đếm theo 2 cách của 15 vận động viên có đúng 3 cặp có tổng là 1 + 4 = 2 + 3 = 3 + 2 = 5.
Vậy khi 6888 vận động viên đếm theo 2 cách sẽ có 6885/15 = 1377 vận động viên có tổng số đếm sau hai lần bằng 5 (các vận động viên thứ 6886, 6887, 6888 có tổng số ở 2 lần đếm là 2, 4, 6).
Trần Phương