Đề bài:
Ba con bọ được đặt ở ba ô vuông màu xám trên ba bảng ô vuông 8x8 như hình vẽ bên dưới.
Mỗi bước, từng con bọ sẽ đi sang phải một ô vuông, hoặc đi lên một vuông, hoặc đi qua ô vuông ở góc dưới bên trái có chung đỉnh với ô vuông nó đang đứng. Các con bọ không thể đi ra khỏi các bảng ô vuông.
Hỏi, trong ba con bọ, những con bọ nào có thể đi hết các ô vuông của bảng mà chúng đang đứng sao cho mỗi ô vuông chỉ đi qua một lần?
Hướng dẫn giải:
Con bọ thứ nhất có thể đi hết bảng ô vuông bằng cách đi qua mỗi ô đúng một lần. Cách di chuyển của con bọ như sau:
Con bọn thứ hai cũng có thể đi hết bảng ô vuông bằng cách đi qua mỗi ô đúng một lần. Cách di chuyển của con bọ như sau:
Con bọ thứ ba không thể đi hết bảng ô vuông bằng cách đi qua mỗi ô đúng một lần. Thật vậy, giả sử con bọ thứ ba có thể đi hết bảng ô vuông bằng cách đi qua mỗi ô đúng một lần. Đánh số các ô của bảng như sau:
Ta thấy có tất cả 22 ô được đánh số 1, 21 ô được đánh số 2 và 21 ô được đánh số 3. Khi con bọ đang đứng ở ô đánh số 1 thì nó chỉ có thể di chuyển qua ô đánh số 2, tương tự từ ô đánh số 2 thì con bọ chỉ có thể di chuyển qua ô đánh số 3 và từ ô đánh số 3 thì con bọ chỉ có thể di chuyển qua ô đánh số 1.
Lúc đầu, con bọ đang ở ô đánh số 3 nên nó sẽ di chuyển như sau:
3 -> 1 -> 2 -> 3 -> 1 -> 2 ->...
Các ô số mà con bọ đi qua tuần hoàn theo chu kỳ 3 (3 -> 1 -> 2). Như vậy, ô cuối cùng mà con bọ đi đến phải là ô đánh số 3. Tuy nhiên, theo cách đánh số thì ô cuối cùng này phải là ô đánh số 1, mâu thuẫn. Vậy, con bọ thứ ba không thể đi hết bảng ô vuông.
Võ Quốc Bá Cẩn
Giáo viên Toán, trường Archimedes Academy, Hà Nội