Đề bài:
Bảy chú lùn ngồi quanh một cái bàn tròn, trước mặt mỗi chú là một cái cốc có chứa sữa bên trong (có thể có cốc không có sữa). Có tổng cộng nửa lít sữa ở trong tất cả cốc.
Một chú lùn đứng dậy và chia đều lượng sữa trong cốc của chú vào cốc các bạn. Sau đó lần lượt các chú lùn khác cũng làm như vậy. Sau khi chú lùn thứ bảy chia xong sữa thì mọi chú lùn đều có một lượng sữa bằng lượng sữa mà họ có lúc ban đầu. Hỏi lượng sữa có trong mỗi cốc lúc đầu là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Gọi lượng sữa của mỗi chú lùn theo thứ tự chia sữa là a1, a2, …, a7, đồng thời lượng sữa mà mỗi chú lùn này chia cho những người còn lại theo thứ tự là s1; s2; …; s7.
Đặt s1 + s2 + s3 + … + s7 = S.
Chú lùn thứ nhất chia cho mỗi người khác s1 và sau đó được nhận về a1 = s2 + s3 + … + s7
mà trước khi chia lượng sữa của chú lùn thứ nhất là a1 = 6s1
nên ta có: 7s1 = a1 + s1 = S
Chú lùn thứ 2 chia cho mỗi người khác s2 và sau đó được nhận về a2 = s3 + s4 + … + s7
mà trước khi chia lượng sữa của chú lùn thứ 2 là a2 + s1 = 6s2
nên ta có: 7s2 = a2 + s1 + s2 = S
Chú lùn thứ 3 chia cho mỗi người khác s3 và sau đó được nhận về a3 = s4 + s5 + s6 + s7
mà trước khi chia lượng sữa của chú lùn thứ 3 là a3 + s1 + s2 = 6s3
nên ta có: 7s3 = a3 + s1 + s2 + s3 = S
Tương tự ta sẽ có S = 7s4 = 7s5 = 7s6 = 7s7 Þ s1 = s2 = s3 = … = s7 = (1/7)S
Suy ra: a1 = (6/7)S; a2 = (5/7)S; a3 = (4/7)S; …; a7 = 0.
Theo đề bài ta có: a1 + a2 + …+ a7 =1/2 nên 3S=1/2 hay S=1/6.
Vậy lượng sữa có trong mỗi cốc của 7 chú lùn lần lượt là: 1/7 lít, 5/42 lít, 2/21 lít, 1/14 lít, 1/21 lít, 1/42 lít và 0 lít.
Trần Phương
Phó giám đốc Trung tâm hỗ trợ phát triển tài năng