Đề bài:
Một cuộc thi hoa hậu bãi biển có 190 thí sinh tham dự. Các thí sinh được đánh số báo danh liên tiếp 1, 2, 3, ..., 189, 190 và được xếp theo hàng từ trên xuống dưới như sơ đồ dưới đây.
Hỏi thí sinh có số báo danh 111 đứng ở hàng thứ bao nhiêu và ở vị trí cách người đứng đầu hàng bên trái bao nhiêu người?
Hướng dẫn giải:
Nhìn sơ đồ từ trên xuống dưới ta có: hàng thứ nhất có 1 hoa hậu, hàng thứ hai có 2 hoa hậu, hàng thứ n có n hoa hậu. Và khi đếm từ trên xuống dưới, ta có số thứ tự của hoa hậu luôn bằng số báo danh. Giả sử hoa hậu có số báo danh 111 đứng ở hàng thứ k. Ta có tổng số hoa hậu đếm từ đầu đến người cuối cùng ở hàng thứ (k–1) là:
1 + 2 +...+ (k–1) = (k–1)k/2.
Tổng số hoa hậu đếm từ đầu đến người cuối cùng ở hàng thứ k là:
1 + 2 +...+ (k–1) + k = k(k+1)/2.
Do hoa hậu có số báo danh 111 đứng ở hàng thứ k nên từ trên ta có:
(k–1)k/2 nhỏ hơn 111 và 111 không vượt quá k(k+1)/2 hay là (k–1)k nhỏ hơn 222 và 222 không vượt quá k(k+1), từ đó k = 15.
Hàng 15 có 15 hoa hậu và vị trí cuối có số báo danh là 15(15+1)/2=120.
Từ đó suy ra thí sinh có số báo danh 111 đứng ở hàng thứ 15 và ở vị trí cách người đứng đầu hàng bên trái là 4 người.
Trần Phương