Thầy Trần Phương, giáo viên tại Hệ thống Giáo dục HOCMAI, cho biết nội dung bài toán như sau: Hình dưới đây nhận được từ một bảng vuông 8x8 bị cắt mất 2 ô vuông 1x1 (Từ 64 ô vuông còn 62 ô vuông). Hỏi có thể sử dụng 31 hình 1x2 để lát kín hình này được không?
Đề bài bài toán được đưa ra như trên. Ảnh: HOCMAI.
Thoạt nhìn người giải sẽ thấy, một viên gạch 1x2 có diện tích là 2, mà 62/2=31. Về mặt số học thì diện tích trùng khớp bằng 31. Nhưng câu chuyện đặt ra ở đây là có thể lát kín được không?
Để trả lời cho câu hỏi này, thầy Trần Phương sẽ tô màu các ô vuông xanh, đỏ xen kẽ như bàn cờ vua. Bàn cờ nguyên vẹn sẽ có 32 ô màu đỏ và 32 ô màu xanh. Trong trường hợp này, nếu như cắt đi 2 ô góc thì chúng ta sẽ mất đi 2 ô màu đỏ, do đó chúng ta sẽ chỉ có 30 ô màu đỏ và 32 ô màu xanh.
Tô màu xanh, đỏ xen kẽ để lập luận và chứng minh bài toán. Ảnh: HOCMAI.
Nếu lát kín toàn bộ 31 viên gạch, người giải đưa ra được nhận xét như sau:
Có rất nhiều cách xếp đặt khác nhau, tính tổ hợp của 31 viên thì sẽ có hàng trăm triệu khả năng xảy ra. Nhưng trong sự đa dạng ấy, người giải phải nhận ra được sự ổn định (quy luật bất biến), đó là khi đặt một viên gạch 1x2, dù nằm ngang, thẳng đứng, ở góc hay ở trung tâm thì bao giờ nó cũng chiếm 1 ô đỏ và 1 ô xanh. Vậy giả sử, người giải lát kín cả 31 viên, phủ kín hình bàn cờ vua bị khuyết chỉ có 62 ô thì số lượng ô màu đỏ và số lượng ô màu xanh phải bằng nhau và cùng bằng 31. Tuy nhiên theo tình huống này, người giải cắt góc mất 2 ô màu đỏ, chỉ còn 30 ô màu đỏ và có tới 32 ô màu xanh, do đó không thể lát 31 viên gạch 1x2 phủ kín bàn cờ này được.
Nếu người giải lát, sẽ có 1 viên gạch 1x2 không liền nhau, và buộc phải cắt thành 2 viên 1x1 để ta lấp vào các vị trí không được liền kề nhau.
Như vậy có thể thấy rằng, mặc dù về mặt diện tích bên ngoài thì chia hết (31x2=62) nhưng cấu trúc bên trong không thể lát kín được, mà bắt buộc phải có ít nhất 1 viên cắt đôi.
Thầy Trần Phương cho biết thêm, trong tình huống có 64 ô (không phải 62 ô nữa) thì sẽ lát kín được toàn bộ bảng vuông. Từ đây, thầy Trần Phương đặt thêm một câu hỏi: Nếu như có một bàn cờ 8x8 và có 32 viên gạch 1x2 thì hỏi có bao nhiêu cách lát khác nhau?
Xem đầy đủ lời giải bài toán "Lát nền bất biến" của thầy Trần Phương trong chuyên mục Toán học không biên giới của Hệ thống Giáo dục HOCMAI tại đây.
(Nguồn: HOCMAI)