Gọi (n– 2) kỳ thủ còn lại có cùng k điểm thì 2k là số nguyên dương.
Do mỗi người đều đấu với (n-1) người còn lại nên số trận đấu là n(n – 1)/2.
Để ý rằng tổng điểm của 2 kỳ thủ bất kỳ ở mỗi ván đấu luôn là 1 nên tổng điểm của tất cả các kỳ thủ khi kết thúc giải chính bằng số trận đã đấu và bằng n(n – 1)/2.
Ta có phương trình sau đây:
n(n – 1)/2 = 8 + 8 + (n – 2)k
n(n – 1) = 32 + 2(n – 2)k
(n – 2)[(n + 1) – 2k] = 30
Vì Anna và Ben cùng được 8 điểm và mỗi ván đấu mỗi người được tối đa 1 điểm nên có ít nhất 8 ván đấu tức là số người là: n ≥ 9 . Suy ra 7 ≤ (n – 2) là ước số của 30.
Từ đó (n – 2) thuộc {10; 15; 30}, suy ra n thuộc {12; 17; 32}
Với n = 12 hay n – 2 = 10 thì (n + 1) – 2k = 3 hay k = 5 thì Anna và Ben cùng 8 điểm và 10 người còn lại cùng được 5 điểm. Trường hợp này có thể xảy ra nếu trong 10 người còn lại, Anna thắng đúng 5 người và Ben thắng 5 người còn lại, các trận đấu còn lại có kết quả hòa.
Với n = 17 hay n – 2 = 15 thì (n + 1) – 2k = 2 hay k = 8, Anna và Ben cùng 8 điểm và 15 người còn lại cùng được 8 điểm. Trường hợp này có thể xảy ra khi tất cả các kỳ thủ hòa nhau và mỗi người được 8 điểm.
Với n = 32 hay n – 2 = 30 thì (n + 1) – 2k = 1 hay k = 16 thì Anna và Ben cùng 8 điểm và 30 người còn lại cùng được 16 điểm. Trường hợp này có thể xảy ra nếu trong 30 người còn lại, Anna thua đúng 15 người và Ben thua đúng 15 người còn lại, còn các trận đấu còn lại có kết quả hòa.