Bài toán khó nhất kỳ thi Olympic quốc tế 2015

Nói đến kỳ thi Toán quốc tế, đa số mọi người đều nghĩ rằng đó là những bài toán khó khủng khiếp, phải được luyện rất nhiều mới có thể làm được. Điều này là đúng vì đây là kỳ tranh tài của những học sinh giỏi toán toàn thế giới và đề thi mỗi năm một khó. Tuy nhiên, không phải vì thế mà “không thể với tới được”, “không thể hiểu được”. Trái lại, nhiều bài rất trong sáng, dễ hiểu, được xây dựng từ các mô hình thực tế thú vị.

Dưới đây là hai trong số 6 bài thi toán quốc tế 2015 - kỳ thi mà học sinh Việt Nam vừa đạt thành tích xuất sắc với 2 huy chương vàng, 3 huy chương bạc và một huy chương đồng, xếp thứ 5 trên tổng số 104 đoàn dự thi.

Bài toán 1 của kỳ thi

Đây là một bài toán tổ hợp, yêu cầu xây dựng một mô hình thỏa mãn các tính chất đã cho. Bài toán bắt đầu từ hai định nghĩa sau: Một tập hợp S hữu hạn các điểm trên mặt phẳng được gọi là một tập cân bằng nếu với hai điểm A, B thuộc S thì tồn tại điểm C thuộc S sao cho CA = CB (tức là C nằm trên trung trực AB).

Ví dụ 3 đỉnh của một tam giác đều là một tập cân bằng, còn 4 đỉnh của một hình vuông thì không cân bằng. Một tập hợp S hữu hạn các điểm trên mặt phẳng được gọi là một tập không tâm nếu không tồn tại 4 điểm A, B, C, D thuộc S sao cho DA = DB = DC. Nói cách khác, nếu 3 điểm A, B, C thuộc S thì tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC không thuộc S. 

Đề toán yêu cầu:

a) Chứng minh rằng với mọi n ≥ 3, tồn tại một tập cân bằng gồm n điểm trên mặt phẳng.

b) Tìm tất cả các giá trị n ≥ 3 sao cho tồn tại tập hợp gồm n điểm trên mặt phẳng, cân bằng và không tâm.

Những bài toán như thế này rất hay bởi trước hết nó không đòi hỏi kiến thức gì đặc biệt, các khái niệm mới được định nghĩa đầy đủ (và ta cần phải hiểu được các định nghĩa này), yêu cầu cũng rõ ràng. Dạng đề toán đưa thẳng định nghĩa vào đề bài là dạng toán rất tốt để phát hiện khả năng đọc tình huống mới của học sinh, thay vì là những vấn đề quen thuộc đã được luyện nhiều. Thứ hai, bài toán sẽ có nhiều mức độ hoàn thành (với 4 ý chính) nên sẽ có tính phân loại tốt.

Để được 1 điểm, thí sinh chỉ cần chỉ ra rằng các đỉnh của một đa giác đều có số lẻ cạnh là một tập hợp cân bằng (do đường thẳng qua 1 đỉnh và tâm đường tròn nội tiếp của đa giác là trục đối xứng của đa giác). Để được thêm 2 điểm nữa, thí sinh phải xây dựng được ví dụ cho tập hợp với số điểm chẵn (ở trên đã cho ví dụ với n = 4 và n = 6, bạn đọc hãy đề xuất mô hình tổng quát cho n = 2k).

Chuyển sang câu b), nếu thí sinh nhận xét được đỉnh của đa giác đều lẻ cạnh tạo thành một tập hợp cân bằng, không tâm thì thí sinh sẽ được thêm 1 điểm nữa (câu này quá dễ!). Cuối cùng, để được thêm 3 điểm và đạt điểm tối đa là 7 thì thí sinh phải chứng minh được không tồn tại tập hợp gồm số chẵn điểm, cân bằng và không tâm. Đây là ý khó nhất của bài toán 1. Trên thực tế, dù đây được coi là bài toán dễ nhưng cũng làm khó cho không ít thí sinh. Ở bài này, đoàn Việt Nam có 4 điểm 7, 1 điểm 4 và 1 điểm 3. Kết quả này cho thầy học sinh Việt Nam đã có tiến bộ đáng kể về tổ hợp.

Bài toán 6 của kỳ thi

Đây được coi là bài toán khó nhất của kỳ thi năm nay.

Theo GS Đào Hải Long (huy chương vàng toán quốc tế các năm 1994, 1995) cập nhật thông tin từ mạng Artofproblemsolving thì bài toán này được xây dựng trên mô hình tung hứng của diễn viên xiếc, trong kỹ thuật gọi là Quantum juggling, hay Siteswap.

Nôm na là diễn viên xiếc tại thời điểm thứ i tung quả bóng lên chiều cao a_i khác nhau sao cho các quả bóng rơi xuống tại các thời điểm khác nhau thì độ lệch của các chiều cao so với một chiều cao chuẩn sẽ không lớn, cho dù việc tung hứng diễn ra vô hạn (đương nhiên, nếu ta tung lên cùng một độ cao thì sẽ thỏa mãn điều kiện, nhưng như thế thì bài biểu diễn sẽ không có gì hấp dẫn, thực tế thì các diễn viên tung hứng tung rất đa dạng).

Toàn bộ đề thi, bình luận và kết quả đoàn Việt Nam

TS Trần Nam Dũng
ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐH Quốc gia TP HCM

• Việt Nam đại thắng tại Olympic Toán học quốc tế
• Chàng trai vàng Toán học mong muốn trở thành 'Ngô Bảo Châu thứ 2'