Năm 1998, khi còn là cố vấn Toán học cho trò chơi "Bảy sắc cầu vồng" trên VTV3, thầy Trần Phương đã đưa bài toán diện tích không biên giới vào bộ câu hỏi vòng thi chung kết năm. Hơn 20 năm sau, trong một lần tìm lại bản thảo gốc cuốn sách "Những viên kim cương trong bất đẳng thức Toán học" của mình, thầy Trần Phương đã đọc lại bài toán và gửi đến tờ The Guardian, Anh với mong muốn đưa bài toán đến với độc giả quốc tế.
Đề bài toán như sau: Có thể có hay không một tam giác có tổng độ dài 3 đường cao nhỏ hơn 1mm nhưng diện tích lớn hơn diện tích trái đất 510.100.000 km2? Không có thí sinh nào tham gia đêm chung kết đưa ra được đáp án chính xác cho bài toán hóc búa.
Chia sẻ về đề bài toán, thầy Trần Phương cho biết đã trăn trở nhiều ngày để xây dựng một bài toán cho trận chung kết của chương trình đến mức ngủ quên. Khi tỉnh giấc, điều đầu tiên thầy thấy là một tia nắng chiếu rọi qua khung cửa sổ. Tia nắng là một dải hình chữ nhật mảnh nhưng diện tích của dải mặt phẳng tạo do tia nắng vô cùng lớn. Từ đó, thầy nẩy ra ý tưởng về một tam giác có tổng độ dài 3 đường cao nhỏ tùy ý (nhỏ hơn 1mm) nhưng có diện tích lớn hơn diện tích trái đất (510.100.000 km2).
Diễn giải về bài toán, thầy Phương cho rằng, nếu cho trước một đường thẳng d, khi chúng ta tịnh tiến song song với chính nó sẽ nhận được đường thẳng d’, có khoảng cách là epsilon. Khoảng cách epsilon có thể rất nhỏ nhưng diện tích của dải mặt phẳng tạo bởi 2 đường thẳng d và d’ sẽ là một đại lượng vô cùng lớn vì chiều dài đường thẳng có thể lấy lớn tùy ý.
Để dễ hình dung, ta có hình chữ nhật BCMN. Tam giác mà chúng ta cần tìm sẽ là tam giác đặt trong hình chữ nhật BCMN.
Thầy Trần Phương, giáo viên Hệ thống Giáo dục HOCMAI diễn giải bài toán thông qua hình chữ nhật BCMN.
Giả sử chúng ta lấy trung điểm A của MN thì diện tích của tam giác ABC = (ε x BC) / 2, bằng một nửa diện tích hình chữ nhật BCMN. Vậy nếu hình chữ nhật BCMN là một đại lượng vô cùng lớn thì diện tích tam giác ABC cũng là một đại lượng vô cùng lớn.
Tam giác ABC được đặt trong hình chữ nhật BCMN, với A là trung điểm của MN
Tam giác ABC được đặt trong hình chữ nhật BCMN, với A là trung điểm của MN.
Từ đây, ta từng bước dựng tam giác:
Bước 1: Từ đường thẳng d, tịnh tiến đường thẳng d’ song song với chính nó và có khoảng cách epsilon.
Bước 2: Sau đó, ta dựng hình chữ nhật BCMN, lấy A là trung điểm của MN, và độ dài lấy sau.
Gọi S = 511.000.000 km2 để đủ lớn hơn diện tích bề mặt trái đất và khoảng cách epsilon kí hiệu là ha. Ta có ha = ε ≤ 0,2mm. Cạnh đáy BC đặt là a, được tính bằng công thức a = 2S/ ε. Mục đích lấy cạnh đáy a = 2S/ ε để khi tính công thức diện tích tam giác ABC (=1/2 chiều cao x đáy) thì diện tích của tam giác ABC chính bằng diện tích S và lớn hơn diện tích trái đất.
Tiếp theo, chúng ta cần phải chứng minh 1 yếu tố quan trọng, đó là tổng độ dài 3 đường cao là nhỏ tùy ý.
Chúng ta cần chú ý tam giác ABC có góc A là góc tù. Cho nên, các đường cao kẻ từ B và C lần lượt có các chân đường vuông góc là P và Q, nằm ngoài AB và AC.
Mục đích của chúng ta là phải chứng minh độ dài đường cao BP và CQ nhỏ hơn 2 lần đường cao AH.
Cách chứng minh như sau: Lấy điểm H’ đối xứng với H qua A, như vậy HH’ = 2 ε. Ta chứng minh bằng công thức toán học đơn giản dựa vào kiến thức của lớp 6, được trình bày như hình dưới đây:
Sau khi chứng minh, ta dễ dàng kết luận rằng có tồn tại tam giác có tổng độ dài 3 đường cao nhỏ hơn 1mm nhưng diện tích lớn hơn diện tích trái đất.
Câu chuyện và lời giải của bài toán được thầy Trần Phương chia sẻ tại đây.
(Nguồn: HOCMAI)
Thầy Trần Phương từng là học sinh chuyên Toán, Đại học Tổng hợp Hà Nội (nay là Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội) và tốt nghiệp khoa Toán Đại học Sư phạm Hà Nội I năm 1988.
Thầy là tác giả của hơn 50 đầu sách Toán với hàng chục năm kinh nghiệm huấn luyện các đội tuyển Olympic Toán học của Việt Nam. Thầy được đánh giá là một trong những chuyên gia hàng đầu về phương pháp và các kỹ thuật chứng minh Bất đẳng thức tại Việt Nam.
Thầy là tác giả cuốn sách "Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học", đạt Giải thưởng Tinh hoa Việt Nam năm 2007 tại Lễ vinh danh Doanh nghiệp WTO lần thứ nhất. Bản tóm tắt của cuốn sách được trao tặng cho 95 đoàn tham dự IMO48 tháng 7/2007 tại Việt Nam.
Thầy Trần Phương là thế hệ giáo viên đầu tiên đặt nền móng cho giáo dục trực tuyến khi tham gia giảng dạy tại nền tảng Hocmai.vn từ năm 2007. Khóa học Bất đẳng thức của thầy trên Hocmai.vn đã giúp hàng nghìn học sinh chinh phục phần kiến thức này trong Toán học.