Đề bài:
Cho 6 đồng xu trong đó có một đồng giả. Đồng xu giả có trọng lượng khác 5 đồng thật và 5 đồng thật có trọng lượng bằng nhau.
Anna được dùng một chiếc cân (không phải cân thăng bằng) để xác định đồng xu giả. Hỏi Anna phải cân như thế nào để tìm ra đồng giả sau ba lần cân?
Ảnh minh họa: Saint-Petersburg |
Hướng dẫn giải:
Dưới đây là cách giải của độc giả Đoàn Toàn. Cách này đúng với hướng dẫn của bài toán gốc và nhận được sự ủng hộ của nhiều bạn tham gia.
Đặt 6 đồng xu là A, B, C, D, E, F. Anna cần tiến hành cân ba lần như sau:
Lần 1: Cân 2 đồng C và E, lấy trọng lượng trung bình bằng m.
Lần 2: Cân 2 đồng D và F, lấy trọng lượng trung bình bằng n.
Lần 3: Cân 3 đồng B, E và F, lấy trọng lượng trung bình bằng k.
Nhận thấy:
Nếu m = n = k thì B, C, D, E, F có trọng lượng bằng nhau, A là đồng xu giả.
Nếu m = n ≠ k thì C, D, E, F có trọng lượng bằng nhau, B là đồng xu giả.
Nếu m ≠ n = k thì B, D, E, F có trọng lượng bằng nhau, C là đồng xu giả.
Nếu m = k ≠ n thì B, C, E, F có trọng lượng bằng nhau, D là đồng xu giả.
Nếu m ≠ n ≠ k thì đồng xu giả là E hoặc F.
So sánh 3k và 2m + n hoặc 2n + m.
Xét trường hợp 3k = 2m + n.
Ta có: 3k = B + E + F; 2m + n = C + E + (D+F)/2
Suy ra 3k = 2m + n B + E + F = C + E + (D+F)/2 F = (D+F)/2
2F = D + F D = F
Như vậy, F là đồng xu thật, trọng lượng bằng D. Suy ra E là đồng xu giả.
Trường hợp 2 tương tự trường hợp 1. Nếu 3k = 2n + m, ta có C = E.
Như vậy, E là đồng xu thật, trọng lượng bằng C. Suy ra F là đồng xu giả.