Đề bài:
Cho các số nguyên dương được sắp xếp thành một bảng như hình sau:
Hỏi số 2002 nằm ở cột và hàng thứ bao nhiêu trong bảng trên?
Đáp án: Số 2002 nằm ở cột 49 và hàng 15.
Gợi ý cách giải:
Xét bảng trên theo hàng chéo như hình dưới đây:
Ta thấy các số đầu tiên của mỗi hàng chéo hơn tổng lượng số xuất hiện ở các hàng chéo trước đó một đơn vị. (Ví dụ hai hàng chéo đầu tiên có tổng cộng ba số thì số đầu tiên của hàng chéo thứ ba là số 4).
Xét hàng chéo thứ n có số đầu tiên là x. Tổng lượng số của n - 1 hàng chéo bên trên hàng thứ n bằng 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) = (n-1)(n-1 + 1)/2 = n(n-1)/2.
Theo nhận xét đầu tiên ta có số x của hàng thứ n là x = n(n-1)/2 + 1.
Để biết số 2002 ở hàng chéo nào, ta cần tìm n thỏa mãn điều kiện
x = n(n-1)/2 + 1 phải lớn nhất, đồng thời số này phải nhỏ hơn hoặc bằng 2002.
Với x ≤ 2002 hay n(n-1)/2 + 1 ≤ 2002, suy ra n(n-1) ≤ 4002.
Dễ dàng tìm được 62 và 63 là cặp số tự nhiên liên tiếp lớn nhất có tích nhỏ hơn 4002.
Suy ra n = 63 hay số 2002 nằm ở hàng chéo 63.
Số đầu tiên của hàng chéo 63 bằng 63.62/2 + 1 = 1954. Vì số 1954 là số đầu tiên của một hàng chéo và cũng là số đầu tiên của một hàng ngang. Suy ra số 1954 cũng là số đầu tiên của hàng ngang thứ 63.
Số 2002 hơn số 1954 là 48 đơn vị. Suy ra số 2002 nằm ở hàng ngang thứ
63 - 48 = 15.
Số 1954 nằm ở cột đầu tiên. Suy ra số 2002 nằm ở cột thứ 1 + 48 = 49.
Kết luận: Số 2002 nằm ở cột 49, hàng 15 trong bảng đã cho.