Đề bài: Trong buổi học đầu tiên, cô giáo nói với một học sinh: “Hôm nay cô gặp 3 người nam. Tích số tuổi của họ là 2.450 và tổng số tuổi của họ gấp 2 lần số tuổi của em. Hãy tính số tuổi của họ".
Vào buổi chiều, học sinh thừa nhận rằng không thể trả lời câu hỏi này. Khi đó cô giáo đã cho học sinh thêm dữ kiện: “Một trong 3 người đó lớn tuổi hơn cô”. Bạn hãy giúp học sinh tính xem cô giáo này bao nhiêu tuổi?
Bình luận: Khi đọc xong đề bài, nhiều người có cảm giác bài toán này có vẻ giống như bài toán “đầu cừu, đuôi thuyền trưởng”. Thật vậy, ở phần giữa của đề bài thì hỏi “Hãy tính số tuổi của họ” nhưng ở phần kết luận thì lại yêu cầu tìm tuổi cô giáo. Tưởng chừng 2 vấn đề này không ăn nhập với nhau, nhưng nó lại hoàn toàn liên quan và đó chính là những yếu tố cấu thành tạo ra một bài toán logic hay. Chúng ta sẽ thấy ngay điều này qua lời giải sau đây.
Lời giải:
Bước 1:
Vì đầu bài cho tích số tuổi của 3 người là 2450 nên ta phải làm ngược lại là phân tích 2.450 ra các thừa số nguyên tố rồi ghép các thừa số này để tạo ra đúng 3 thừa số.
Ta có: 2.450 = 2 x 5 x 5 x 7 x 7, từ đó có 12 cách ghép thành 3 thừa số sau đây:
2.450 = 1 x 49 x 50 = 1 x 35 x 70 = 1 x 25 x 98
= 2 x 35 x 35 = 2 x 25 x 49
= 5 x 14 x 34 = 5 x 10 x 49 = 5 x 7 x 70 = 5 x 5 x 98
= 7 x 25 x 14 = 7 x 10 x 35 = 7 x 7 x 50
Tổng số tuổi của 3 người cô giáo gặp tương ứng với các tổng của 3 thừa số và có các kết quả sau đây:
1 + 49 + 50 = 100
1 + 35 + 70 = 106 1 + 25 + 98 = 124 |
2 + 35 + 35 = 72
2 + 25 + 49 = 76 |
5 + 14 + 35 = 54
5 + 10 + 49 = 64 5 + 7 + 70 = 82 5 + 5 + 98 = 108 |
7 + 25 + 14 = 46
7 + 10 + 35 = 52 7 + 7 + 50 = 64 |
Bước 2:
Trong các tổng trên chỉ có duy nhất số 64 lặp lại 2 lần. Từ đó suy ra nếu tuổi của 3 người thuộc tập hợp {100; 106; 124; 72; 76; 54; 82; 108; 46; 52} thì em học sinh mà cô giáo hỏi sẽ đoán được ngay tuổi của 3 người. Vì học sinh không đoán được nên tuổi của 3 người là 1 hoán vị của 1 trong 2 bộ số có tổng bằng 64 tức là 1 trong 2 bộ số (5; 10; 49) hoặc (7; 7; 50).
Để học sinh đoán được tuổi của 3 người, cô giáo đã cho học sinh thêm dữ kiện: “Một trong 3 người đó lớn tuổi hơn cô”. Với giả thiết này thì suy ra cô giáo 49 tuổi.
Thật vậy, nếu cô giáo nhỏ hơn hoặc bằng 48 tuổi thì do 49 > 48 ; 50 > 48 nên học sinh không thể đoán được tuổi của 3 người, và tất nhiên cô giáo cũng không thể lớn hơn hoặc bằng 50 tuổi được.
Kết luận: Cô giáo 49 tuổi.
Trần Phương