Topic 49: CONDITIONAL PERMUTATION
Problem: There are 3 American, 1 English, 1 French, 1 Russian, and 2 German swimmers in the final of a swimming competition. How many different possible final results are there in which at least one American swimmer belongs to the top three places, given that every swimmer finishes on a different place?
Dịch đề: Các vận động viên bơi lội gồm 3 người Mỹ, 1 người Anh, 1 người Pháp, 1 người Nga và 2 người Đức, tham gia vòng chung kết cuộc thi bơi. Có thể có bao nhiêu kết quả khác nhau, biết rằng có ít nhất 1 người Mỹ lọt vào top 3 và các vận động viên kết thúc ở các thứ hạng khác nhau?
Ảnh: kingswim |
Lời giải:
Nếu không quan tâm đến thứ hạng của 3 vận động viên người Mỹ thì có 8! kết quả khác nhau cho 8 vận động viên tham gia thi bơi vòng chung kết.
Nếu không có vận động viên người Mỹ nào lọt vào top 3 thì có 5 × 4 × 3 = 60 kết quả cho 3 người Mỹ và 5! kết quả cho 5 người còn lại.
Như vậy có 60 × 5! kết quả mà không có người Mỹ nào lọt vào top 3.
Vậy số kết quả mà có ít nhất 1 người Mỹ lọt vào top 3 là:
8! – 60 × 5! = 5! × (6 × 7 × 8 – 60) = 120 × 276 = 33120
Đáp số: 33120
Solution:
If the rankings of the 3 Americans do not matter, there are 8! possible results for 8 swimmers.
If no American belongs to the top 3 places, there are 5 × 4 × 3 = 60 possible results for the 3 Americans and 5! possible results for the 5 remaining people. Thus, there are 60 × 5! possible results in which no American belongs to the top 3 places.
It follows that the number of possible results in which at least 1 American swimmer belongs to the top three places is:
8! – 60 × 5! = 5! × (6 × 7 × 8 – 60) = 33120
The answer is 33120.
Minh Phương