Đề bài: Mali chèn một số dấu cộng "+" vào giữa các chữ số 7 của một số gồm 12 chữ số 7 sao cho kết quả nhận được là bội số của 30. Hỏi có bao nhiêu cách chèn như vậy?
Hướng dẫn giải:
Cách 1:
Vì tổng của 12 chữ số 7 là 84 chia hết cho 3 nên dù chèn bất kỳ một số dấu "+" tùy ý vào giữa các chữ số 7 thì kết quả sẽ luôn là bội của 3. Để tổng nhận được là bội của 30 thì tổng của các số 7 phải là bội của 10 tức là tận cùng bằng 0. Từ đó cần đặt đúng 9 dấu "+" vào các chỗ trống để tạo ra tổng gồm 10 số với chữ số 7 tận cùng. Ta có hai định dạng chèn dấu "+" sau đây:
Dạng 1: Có một số 777 và 9 số 7, ví dụ:
Có 10 cách chọn vị trí cho số 777 túc là có 10 cách chèn dấu "+".
Dạng 2: Có hai số 77 và 8 số 7, ví dụ:
Có (10 x 9) : 2 = 45 cách chọn vị trí cho hai số 77 hay có 45 cách chèn dấu "+".
Kết luận: Số cách chèn dấu "+" là 10 + 45 = 55 (cách).
Cách 2:
Tương tự như phần đầu ở cách 1, ta có số cách chèn 9 dấu "+" vào 11 vị trí trống của 12 chữ số 7 là tổ hợp chập 9 của 11 và bằng (11 x 10) : 2 = 55 (cách).
Trần Phương