Đề bài:
Gọi S(X) là tổng các chữ số của số nguyên dương X.
Ví dụ S(2014) = 2+0+1+4=7.
Hãy tìm số nguyên dương X nhỏ nhất sao cho S(X) và S(X+1) đều chia hết cho 7.
Hướng dẫn giải:
Nếu X không tận cùng bằng 9 thì S(X+1) = S(X) + 1.
Như thế cả hai số này không thể cùng chia hết cho 7.
Giả sử X = a9..9 (k chữ số 9, sau đó đến số a là một số không tận cùng bằng 9).
Khi đó X+1 = (a+1)0..0 (k chữ số 0).
Vậy ta có S(X) = S(a) + 9k, S(X+1) = S(a) + 1.
Suy ra 9k - 1 chia hết cho 7.
Như vậy số k nhỏ nhất là số 4.
Ta lại chọn a nhỏ nhất sao cho S(a) + 1 chia hết cho 7
Tức là a = 6
Ta được số 69999.
Trần Nam Dũng