Đề bài: "Điền các số từ 1 đến 9 vào các ô trống để được kết quả đã cho".
Bình luận và 5 đáp án gốc theo phép tính
Ngay giây đầu tiên nhận bài toán này từ VnExpress, tôi đã cảm thấy rất hấp dẫn. Chỉ với suy luận toán học thôi, không có máy tính hỗ trợ, sau một vài giờ tôi không thể trả lời câu hỏi bài toán có bao nhiêu đáp án. Vì thế sau khi tìm được đáp án đầu tiên tôi đã đề nghị chia sẻ bài toán này để mọi người cùng tham gia. Thật không ngờ khi đăng tải, bài toán có gần 3.000 comment với nhiều kết quả vì được bắt đầu từ 2 cách hiểu đề khác nhau. Thậm chí bài toán này đã được tờ báo rất nổi tiếng của nước Anh The Guardian đăng tải toàn bộ thông tin dịch từ VnExpress.
1. Hiểu đề: Với đề bài này có thể có 2 cách hiểu. Thạc sĩ Nguyễn Ngọc Giang và một số bạn đã cho rằng mỗi ô có đều thể điền được 9 số từ 1 đến 9 rồi sử dụng phần mềm Maple (hoặc C++) để giải phương trình nghiệm tự nhiên với 9 ẩn số và đã cho ra hơn 74 trang đáp số với hàng chục vạn đáp án. Cùng với cách hiểu đề này, nhưng bạn Huỳnh Tuấn Anh lại tầm thường hóa để dạy trẻ em cách mò ra một đáp án đúng trong hàng chục vạn đáp án đúng. Bạn dạy mò một đáp án nhưng lại viết rèn tư duy rất tốt!
Trước một đề bài diễn đạt chưa rõ ràng, chúng ta sẽ phân tích để cùng thống nhất một cách hiểu duy nhất về bài toán này. Rõ ràng nếu số ô trống nhỏ hơn 9 mà phải điền 9 số từ 1 đến 9 thì cách hiểu của 2 bạn Giang và Tuấn Anh là hợp lý. Nhưng nếu đặt ngữ cảnh bài toán về nhà của một học sinh lớp 3, phụ huynh loay hoay tuyệt vọng không tìm ra một đáp án trong một thời gian dài để rồi phải viết thư nhờ chuyên gia giải đáp, thì chúng ta nên hiểu đề bài theo cách thứ hai: “Điền các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 vào 9 ô trống để khi kết hợp các phép tính với các số 10; 11; 12; 13 nhận được kết quả đúng là 66.
Thậm chí nếu việc suy luận của tôi theo ngữ cảnh là không đúng với suy nghĩ của giáo viên lớp 3 đã ra đề thì yếu tố quyết định nhất ở đây vẫn là chọn cách hiểu đề theo kiểu nào để chúng ta có một lời giải thuần túy Toán học cũng như thực sự phát triển tư duy học sinh. Với cách hiểu của 2 bạn Giang và Tuấn Anh thì bài toán hoàn toàn không có lời giải Toán học và việc mò ra một đáp số đúng trong hàng chục vạn đáp số đúng là rất tầm thường. Tôi tin rằng nhiều học sinh lớp 3 của nhiều trường ở Việt Nam có thể mò ra hàng chục đáp án đúng trong vài giờ.
Còn với cách hiểu thứ hai thì sẽ rất khó khăn để học sinh lớp 3 mò ra một đáp án đúng trong một tuần và chắc là Hồ Hữu Công cũng đã hiểu đề theo cách này nên không tìm được một đáp án đúng nào cả. Quan trọng nhất là với cách hiểu thứ hai chúng ta sẽ có một lời giải thuần túy Toán học và chỉ có 5 đáp án gốc theo phép tính. Hơn thế nữa việc tìm ra một hoặc một vài đáp án đúng (kể cả là làm mò) cũng thực sự phát triển tư duy cho người giải toán nói chung và học sinh nói riêng.
2. Phạm vi kiến thức: Cuối học kỳ II học sinh lớp 3 được học thứ tự thực hiện các phép toán “Nhân chia trước, cộng trừ sau”, nhưng chưa được học về phân số. Vì thế kết quả các phép tính nhân chia phải dựa trên phép chia hết và như thế bài toán mới thực sự hấp dẫn.
3. Ra đề: Cách ra đề cho các dạng toán này vô cùng dễ. Chúng ta vẽ trước sơ đồ hình học tùy ý, sau đó cho một vài phép toán, dấu bằng và một vài con số. Tiếp theo, điền các số vào ô trống (sau này là các số cần tìm) và thực hiện toàn bộ phép toán để cho ra kết quả. Cuối cùng ta giữ nguyên kết quả, các phép toán và xóa hết các số mà ta đã điền vào ô trống, thế là ra đời một bài toán. Với học sinh lớp 3 cần chú ý việc chọn các số phải phù hợp với phép nhân, chia để kết quả là số tự nhiên.
4. Thẩm mỹ: Mặc dù việc ra đề toán theo hướng dẫn trên là rất dễ, nhưng việc một giáo viên lớp 3 ở vùng cao ra một đề toán có tính thẩm mỹ cao rất đáng được hoan nghênh. Ta cùng xem phát biểu bài toán: “Các số cho trước là 10, 11, 12, 13, các số cần điền là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 cùng với đủ 4 phép toán số học cộng, trừ, nhân, chia để cho kết quả là 66”.
5. Đi ngược: Ra đề thì dễ nhưng việc giải thì không dễ, thậm chí là rất khó. Chúng ta có thể hình dung khi đi theo xe máy của một người quen vào trong một con hẻm với 5 lần rẽ thì dường như chúng ta cho rằng việc tìm đường ra ngược lại là không khó. Nhưng nếu mỗi ngã rẽ có 4 phương án lựa chọn thì việc tìm đường đi đúng khi đi ngược lại có xác suất là 1/1024. Điều này cũng tương tự khi ra các dạng bài phân tích thành nhân tử; GPT bậc cao, chúng ta có thể lấy một số đa thức nhân tử bậc thấp nhân với nhau sau đó ước lược các số hạng đồng dạng để tạo ra một bài toán với đa thức bậc cao. Khi đó, quá trình phân tích ngược lại sẽ khó hơn rất nhiều.
6. Phương pháp: Đây là một bài toán có tư duy tổng hợp bao gồm tư duy đánh giá, tư duy về phép chia hết kết hợp với phép thử sai – đúng. Không có một lập luận logic nào hoàn hảo để giảm số phép thử chỉ còn dưới 40 mà tìm hết các đáp án đúng. Chúng ta sẽ tìm các đáp án gốc theo phép tính trước.
7. Các bước giải: Chúng tôi hướng dẫn các bước giải để bạn đọc có thể tự hoàn thiện lời giải.
7.1 Duỗi thẳng: Duỗi tất cả các ô thành mạch thẳng gồm 27 ô được đánh số từ 1 đến 27 theo chiều từ trái sang phải. Chú ý thứ tự thực hiện các phép toán “nhân chia trước, cộng trừ sau”.
7.2 Dễ làm trước: Thực hiện các phép toán trừ 10 và trừ 11 trước mà không làm thay đổi tính chất bài toán. Khi bỏ 2 số này đi thì chuyển kết quả cần tính từ 66 thành 87.
7.3 Phân cụm: Trong 27 ô có 2 cụm có 3 ô liên tiếp và 1 cụm có 2 ô liên tiếp có chứa liên kết nhân chia. Gọi tổng giá trị của 3 cụm ô này bằng M.
7.4 Đánh giá: Xét 3 ô ở vị trí thứ 1, thứ 9 và thứ 16 gồm 2 liên kết cộng và 1 liên kết trừ ta có M + 1 + 2 – 9 ≤ 87 ≤ M + 9 + 8 – 1 hay 71 ≤ M ≤ 93
(Có thể lập luận bằng ngôn ngữ để tìm được kết quả này).
7.5 Phân loại: Sử dụng tính chất chia hết trong cụm chứa liên kết chia để phân loại các trường hợp.
7.6. Đáp án gốc (5 cách):
Sử dụng 7.4 và 7.5 kết hợp với phép thử sai – đúng ta có 5 đáp án gốc theo phép tính sau đây:
3 + 13 × 2 : 1 + 5 + 12 × 4 – 7 – 11 + 8 × 9 : 6 – 10 = 66
5 + 13 × 3 : 1 + 7 + 12 × 2 – 6 – 11 + 8 × 9 : 4 – 10 = 66
5 + 13 × 9 : 3 + 6 + 12 × 2 – 1 – 11 + 7 × 8 : 4 – 10 = 66
5 + 13 × 4 : 1 + 9 + 12 × 2 – 7 – 11 + 3 × 8 : 6 – 10 = 66
6 + 13 × 3 : 1 + 9 + 12 × 2 – 5 – 11 + 7 × 8 : 4 – 10 = 66
7.7 Đáp án điền số (20 cách)
Nếu giao hoán phép cộng của các ô thứ 1 với thứ 9 và phép nhân của ô thứ 19 và ô thứ 21 ta có 20 đáp án với các số và các phép toán từ trái sang phải xuất hiện tương ứng với các ô từ 1 đến 27
3 + 13 × 2 : 1 + 5 + 12 × 4 – 7 – 11 + 8 × 9 : 6 – 10 = 66
3 + 13 × 2 : 1 + 5 + 12 × 4 – 7 – 11 + 9 × 8 : 6 – 10 = 66
5 + 13 × 2 : 1 + 3 + 12 × 4 – 7 – 11 + 8 × 9 : 6 – 10 = 66
5 + 13 × 2 : 1 + 3 + 12 × 4 – 7 – 11 + 9 × 8 : 6 – 10 = 66
5 + 13 × 3 : 1 + 7 + 12 × 2 – 6 – 11 + 8 × 9 : 4 – 10 = 66
5 + 13 × 3 : 1 + 7 + 12 × 2 – 6 – 11 + 9 × 8 : 4 – 10 = 66
7 + 13 × 3 : 1 + 5 + 12 × 2 – 6 – 11 + 8 × 9 : 4 – 10 = 66
7 + 13 × 3 : 1 + 5 + 12 × 2 – 6 – 11 + 9 × 8 : 4 – 10 = 66
5 + 13 × 9 : 3 + 6 + 12 × 2 – 1 – 11 + 7 × 8 : 4 – 10 = 66
5 + 13 × 9 : 3 + 6 + 12 × 2 – 1 – 11 + 8 × 7 : 4 – 10 = 66
6 + 13 × 9 : 3 + 5 + 12 × 2 – 1 – 11 + 7 × 8 : 4 – 10 = 66
6 + 13 × 9 : 3 + 5 + 12 × 2 – 1 – 11 + 8 × 7 : 4 – 10 = 66
5 + 13 × 4 : 1 + 9 + 12 × 2 – 7 – 11 + 3 × 8 : 6 – 10 = 66
5 + 13 × 4 : 1 + 9 + 12 × 2 – 7 – 11 + 8 × 3 : 6 – 10 = 66
9 + 13 × 4 : 1 + 5 + 12 × 2 – 7 – 11 + 3 × 8 : 6 – 10 = 66
9 + 13 × 4 : 1 + 5 + 12 × 2 – 7 – 11 + 8 × 3 : 6 – 10 = 66
6 + 13 × 3 : 1 + 9 + 12 × 2 – 5 – 11 + 7 × 8 : 4 – 10 = 66
6 + 13 × 3 : 1 + 9 + 12 × 2 – 5 – 11 + 8 × 7 : 4 – 10 = 66
9 + 13 × 3 : 1 + 6 + 12 × 2 – 5 – 11 + 7 × 8 : 4 – 10 = 66
9 + 13 × 3 : 1 + 6 + 12 × 2 – 5 – 11 + 8 × 7 : 4 – 10 = 66
8. Kết luận
Rất cảm ơn giáo viên toán lớp 3 và bạn Hồ Hữu Công đã gửi đến cho chúng tôi một bài toán tạo ra một sự kiện rất sôi nổi được nhiều bạn đọc quan tâm. Một bài toán sơ cấp chỉ có thể có ý nghĩa nếu có một lời giải toán học và với bài toán này không cần sử dụng phần mềm Maple (hoặc C++) vẫn có thể giải được bằng kiến thức toán lớp 3. Tất nhiên đây là bài tập nâng cao cho về nhà nên học sinh lớp 3 có thể tìm một hoặc một vài đáp án trong thời gian một tuần là khá tốt (không nhất thiết đòi hỏi phải tìm đủ 5 đáp án gốc).
Thực chất bài toán này rất gần gũi với trò chơi Kakuro và Sudoku của Nhật Bản. Đây là trò chơi giúp ích phát triển tư duy cho học sinh từ bậc tiểu học. Nếu bạn thực sự giải bài toán này mà không có phần mềm hỗ trợ thì nó sẽ rèn luyện cho bạn rất nhiều kỹ năng trong đó có phán đoán, đánh giá, kiên nhẫn và bền bỉ là các yếu tố rất cần cho một người làm khoa học. Nếu có phần mềm hỗ trợ thì nó sẽ giúp ích rất tốt cho người ở vị trí biên tập: “Bạn cần phải đưa ra kết luận chính xác nhất trong một thời gian hạn chế”.
Bản thân tôi khi nhận biên tập bài toán này với các phương pháp nêu trên, lúc đầu tôi cũng chỉ tìm ra được 4 đáp án gốc và phải mất thêm thời gian mới tìm thêm được đáp án gốc thứ 5. Tôi cũng không biết lập trình để kiểm tra xem có còn sót đáp án không. Nếu vẫn còn thì việc phân loại của tôi chưa vét cạn các khả năng. Khi đó mong bạn đọc thông cảm, lượng thứ vì sức người thua máy tính và bổ sung đáp án.
Cuối cùng chúng tôi mong nhận được các bài toán hay từ khắp mọi nơi gửi đến. Chúng tôi sẽ lựa chọn các bài toán hay để phục vụ bạn đọc.
Trần Phương
Phó giám đốc Trung tâm hỗ trợ phát triển tài năng